练习题
一个投资者在账户中存入$4,000。此后每个月她都会再存入$200。计算她在以下时间点总共投资了多少钱：
a) 第10个月开始时
b) 第m个月开始时
这是一个等差数列的建模问题。
首项 a = $4,000，公差 d = $200
a) 第10个月开始时，她已经进行了9次额外存款（第2个月到第10个月）
总投资 = $4,000 + 9 × $200 = $4,000 + $1,800 = $5,800
b) 第m个月开始时，她已经进行了(m-1)次额外存款
总投资 = $4,000 + (m-1) × $200 = $4,000 + $200(m-1)
Nour开始一份新工作，年薪€20,000。她每年年底都会获得€500的加薪，直到达到最高年薪€50,000。计算她在以下情况下的总收入：
a) 前10年
b) 15年内
c) 说明为什么这可能是一个不合适的模型
这是一个等差数列，首项 a = €20,000，公差 d = €500
首先计算达到最高年薪需要多少年：
€50,000 = €20,000 + (n-1) × €500
€30,000 = (n-1) × €500
n-1 = 60，所以 n = 61年
a) 前10年：S_10 = (10/2)[2×€20,000 + (10-1)×€500] = 5[€40,000 + €4,500] = €222,500
b) 15年内：S_15 = (15/2)[2×€20,000 + (15-1)×€500] = 7.5[€40,000 + €7,000] = €352,500
c) 这个模型可能不合适的原因：
• 实际工作中加薪可能不是固定的
• 可能受到通货膨胀、公司业绩等因素影响
• 职业发展路径可能不是线性的
James决定在六周假期期间存钱。第一天存1分，第二天存2分，第三天存3分，以此类推。
a) 假期结束时（42天）他有多少钱？
b) 如果他继续这样存钱，需要多长时间才能存到$100？
这是一个等差数列，首项 a = 1分，公差 d = 1分
a) 42天的总存款：S_42 = (42/2)[2×1 + (42-1)×1] = 21[2 + 41] = 21×43 = 903分 = $9.03
b) 要存到$100 = 10,000分：
S_n = (n/2)[2×1 + (n-1)×1] = (n/2)[2 + n-1] = (n/2)(n+1) = 10,000
n(n+1) = 20,000
n² + n - 20,000 = 0
使用二次公式：n = (-1 ± √(1 + 80,000))/2 = (-1 ± √80,001)/2
n ≈ (-1 + 282.8)/2 ≈ 140.9
所以需要141天才能存到$100
一个蚂蚁种群以每年10%的速度增长。如果初始种群有200只蚂蚁，写出以下年份的蚂蚁数量：
a) 1年后
b) 2年后
c) 10年后
这是一个等比数列，首项 a = 200，公比 r = 1.1
a) 1年后：u_2 = 200 × 1.1^1 = 200 × 1.1 = 220只
b) 2年后：u_3 = 200 × 1.1^2 = 200 × 1.21 = 242只
c) 10年后：u_11 = 200 × 1.1^10 = 200 × 2.594 = 518.8 ≈ 519只
一辆摩托车有四个档位。最低档的最大速度是40 km/h，最高档的最大速度是120 km/h。假设每个连续档位的最大速度形成一个等比数列，计算两个中间档位的最大速度（精确到小数点后一位）。
这是一个等比数列，首项 a = 40 km/h，第4项 u_4 = 120 km/h
u_4 = ar^3 = 40r^3 = 120
r^3 = 120/40 = 3
r = ∛3 ≈ 1.442
第2档：u_2 = 40 × 1.442^1 = 40 × 1.442 = 57.7 km/h
第3档：u_3 = 40 × 1.442^2 = 40 × 2.080 = 83.2 km/h
因此，第2档的最大速度是57.7 km/h，第3档的最大速度是83.2 km/h
一张A4纸被反复对折。A4纸的厚度是0.5mm。
a) 计算折叠4次后纸张的厚度
b) 计算折叠20次后纸张的厚度
c) 说明为什么这可能是一个不现实的模型
这是一个等比数列，首项 a = 0.5mm，公比 r = 2
a) 折叠4次后：u_5 = 0.5 × 2^4 = 0.5 × 16 = 8mm
b) 折叠20次后：u_21 = 0.5 × 2^20 = 0.5 × 1,048,576 = 524,288mm = 524.288m
c) 这个模型不现实的原因：
• 不可能将纸张折叠那么多次
• 纸张的物理性质限制了折叠次数
• 实际折叠中会有误差和损耗
• 折叠20次后厚度超过500米是不现实的
一个公司第一年的利润是$50,000，预计每年增长8%。计算：
a) 前5年的利润总和
b) 第10年的利润
c) 说明这个模型的局限性
这是一个等比数列，首项 a = $50,000，公比 r = 1.08
a) 前5年的利润总和：
S_5 = $50,000(1.08^5 - 1)/(1.08 - 1) = $50,000(1.469 - 1)/0.08 = $50,000 × 0.469/0.08 = $293,125
b) 第10年的利润：
u_10 = $50,000 × 1.08^9 = $50,000 × 1.999 = $99,950
c) 模型的局限性：
• 实际利润增长可能不是恒定的8%
• 可能受到市场条件、竞争等因素影响
• 长期增长可能不可持续
• 没有考虑通货膨胀等因素
一个学生每天学习时间按以下规律：第一天学习1小时，第二天学习1.5小时，第三天学习2小时，以此类推（每天增加0.5小时）。
a) 计算前30天的总学习时间
b) 第50天学习多长时间？
c) 这个模型合理吗？为什么？
这是一个等差数列，首项 a = 1小时，公差 d = 0.5小时
a) 前30天的总学习时间：
S_30 = (30/2)[2×1 + (30-1)×0.5] = 15[2 + 14.5] = 15×16.5 = 247.5小时
b) 第50天的学习时间：
u_50 = 1 + (50-1)×0.5 = 1 + 49×0.5 = 1 + 24.5 = 25.5小时
c) 这个模型不合理的原因：
• 每天学习25.5小时是不现实的
• 人的学习能力有限，不可能无限增长
• 没有考虑休息、睡眠等基本需求
• 学习效率可能随着时间增加而下降
在解决级数建模问题时，要特别注意：
1. 正确理解问题的背景和变化规律
2. 准确识别数列类型（等差或等比）
3. 建立合适的数学模型
4. 验证计算结果的合理性
5. 考虑模型的适用性和局限性